Last update: 03/04/2019
Para o novo Edital PIBIC, com vigência 2019-2020, os professores participantes ao grupo DGMP submeteram as propostas de projetos de Iniciação Científica (IC) listadas a seguir.
Os alunos interessados em participar de algum desses projetos devem entrar em contato com os professores proponentes.
Descrição: Neste projeto investigaremos uma abordagem pouco explorada para a geometria dos espaços vetoriais Hermitianos, sistematizando e aprofundando alguns dos resultados já existentes sobre sua trigonometria, e analisando sua relação com a álgebra de Grassmann complexa. Serão desenvolvidas também generalizações inéditas do teorema de Pitágoras para espaços Hermitianos. Buscaremos ainda aplicar os resultados obtidos à mecânica quântica, em particular à teoria da informação quântica.
Plano 1: "Álgebra Tensorial e Álgebra de Grassmann com Aplicações"
Descrição: O estudante irá desenvolver estudos sobre tensores, aprendendo o que são, suas propriedades, seus usos, e as diferentes maneiras com que podem ser apresentados. Serão estudadas também as formas exteriores e a álgebra de Grassmann. Por fim, serão vistas aplicações importantes de tensores e formas em Álgebra Linear, Geometria e Física.
Plano 2: "Cálculo com Formas Diferenciais e suas Aplicaçães"
Descrição: O estudante irá inicialmente desenvolver estudos sobre a álgebra de Grassmann das formas alternadas, em preparação para o estudo do cálculo com formas diferenciais em R^n. Ele aprenderá a diferenciar e integrar formas diferenciais (no caso da integração, apenas em curvas, superfícies e regiões de R^3, por simplicidade), e aprenderá o teorema de Stokes generalizado. Serão vistas também as relaçães entre o cálculo com formas e o cálculo vetorial. Por fim, serão feitas aplicações na Geometria e na Física.
Descrição: O principal objetivo desse projeto é dar continuidade a investigação sobre folheação Finsler singular iniciada pelo autor em colaboração com Marcos Alexandrino (IME-USP) e Miguel Angel Javoyes (Universidade de Murcia, Espanha), com foco em obter a equifocalidade e dualidade das folheações Finsler singulares. Tais propriedades são centrais em Teoria de folheação singular.
Plano 1: "Geometria do Espaço de Minkowski e Folheação Singular"
Descrição: Neste plano de trabalho pretende-se que o aluno obtenha uma compreensão da geometria dos espaços de Minkowski e de uma parte da teoria de folheações singulares, assim como a maturidade e iniciativa para o trabalho de
investigação científica. Consequentemente o aluno construirá pilares para a investigação em Geometria
Diferencial e para seguir os estudos e pesquisas em um mestrado e doutorado. Especificamente o aluno
estudará: normas de Minkowski e seu tensor fundamental, geodésicas, superfícies em espaços de
Minkowski e as folheações dadas por submersão e função transnormal. Norma de Minkowski a grosso modo é uma família de produtos internos que dependem de uma direção. Com essa noção é possível definir distância entre subvariedades, que não é simétrica, e geodésicas, que sãos as curvas que minimizam a distância. Folheação singular é uma partição por subvariedades, chamadas de folhas, cumprindo uma condição técnica, por exemplo, esferas concêntricas no plano. Paralelismo entre as folhas e equifocalidade são propriedades muito importantes verificadas em alguns tipos de folheações, por exemplo, folheação dada pelos níveis de uma função transnormal Riemanniana. No caso Finsler, existem funções transnormais Finsler em espaço de Minkowski que não possui a propriedade de equidistância. Quando uma função transnormal Finsler é equidistante? Existe alguma métrica Riemanniana que a torne uma função transnormal Riemanniana? Estas perguntam norteiam o presente plano de trabalho.
Plano 2: "Spray Geodésico Finsler"
Descrição: Nesse plano de trabalho pretende-se que o aluno obtenha uma compreensão da geometria dos espaços de Minkowski e da teoria de Spray, assim como a maturidade e iniciativa para o trabalho de investigação científica.
Consequentemente o aluno construirá pilares para a investigação em Geometria Diferencial e para seguir
os estudos e pesquisas em um mestrado e doutorado. Especificamente o aluno estudará: normas de
Minkowski e seu tensor fundamental, sprays geodésicos e métrica de Sasaki. Norma de Minkowski a grosso modo é uma família de produtos internos que dependem de uma direção. Já uma métrica Finsler é uma aplicação que associa a cada ponto uma norma de Minkowski, por exemplo, métrica Riemanniana. Com essa noção podemos definir uma geodésica como a projeção da curva integral de um campo vetorial no fibrado tangente, chamado spray geodésico. Por outro lado, existem formas de induzir uma métrica Riemanniana no fibrado tangente, por exemplo, a métrica de Sasaki. Qual é a relação entre os spray geodésico da métrica de Sasaki e o spray geodésico da métrica Finsler da base?
Essa é a pergunta que direciona o plano de trabalho.
Descrição:
As equações diferenciais, em derivadas ordinárias ou parciais, são ingredientes fundamentais dos modelos matemáticos usados nas ciências exatas. O ponto de vista elementar, segundo o qual uma equação diferencial é um sistema de relações funcionais entre as derivadas de um dado conjunto de funções, apresenta inúmeras limitações, entre as quais a impossibilidade de estudar de forma invariante as obstruções que podem levar uma equação a ser integrável ou não. Essas limitações são superadas estudando as equações diferenciais como sub-variedades de espaços de jatos, em termos daquelas propriedades invariantes sob a ação de transformações de contato, i.e., os auto-morfismos naturais de um espaço de jatos.
De forma geral este projeto pretende dar prossecução às nossas pesquisas no âmbito dos seguintes outros projetos principais:
"Métodos geométricos para o estudo e redução de equações diferenciais não lineares" (apoiado pelo CNPq com Bolsa de Produtividade)
"Geometria das equações diferenciais não lineares" (Projeto Universal, apoiado pelo CNPq)
Em particular, de forma compatível com o nível e os limites do PIBIC, serão visadas as seguintes vertentes: estudo de métodos de redução e integração por meio de simetrias; estudo e classificação das equações que admitem representações a curvatura nula, com particular atenção às equações que descrevem superfícies pseudo-esféricas.
Planos de trabalho:
Plano 1: "Geometria dos espaços de jatos e redução por meio de simetrias"
Descrição: Dentre os objetivos deste plano têm o estudo de métodos de redução e integração por meio de simetrias, seja no caso de equações ordinária que a derivadas parciais. Nesta parte do projeto o tema da redução será abordado de forma original com o objetivo de conseguir resultados novos.
Plano 2: "Estudo e integrabilidade de fluxos geodésicos por meio de simetrias"
Descrição: O aluno aprenderá a estudar o fluxo geodésico em superfícies e, mais em geral, variedades pseudo-Riemannianas. Em particular, a teoria estudada ao longo de boa parte da Iniciação Científica, será aplicada ao estudo do fluxo geodésico de algumas novas classes de métricas de Einstein.
A abordagem e o foco dependerão naturalmente do nível de conhecimentos prévios do aluno, entretanto a noção de geodésica será estudada de vários pontos de vista: além da descrição tradicional em termos de conexão e transporte paralelo, será seguida também a abordagem variacional (ou Lagrangeana) e sua correspondente versão Hamiltoniana. Em particular, será estudado o método de Hamilton-Jacobi para a integração do fluxo geodésico e, usando o teorema de Noether, serão investigadas as relações existentes entre simetrias da métrica (isometrias, campos de Killing, etc. etc.) e integrais primeiras do fluxo geodésicos.
Descrição: Os modelos mais simples de geometrias não euclidianas são a esfera e o espaço hiperbólico n dimensionais. Os objetos que generalizam essas geometrias foram classificados por Cartan e são chamados espaços simétricos. Com os espaços simétricos podemos estudar geometria do ponto de vista do Erlangen program de Klein, i.e., do ponto de vista de grupos de transformações, mais especificamente dos Grupos de Lie. Um grupo de Lie é um grupo, equipado com uma estrutura diferenciável, tal que as suas operações são funções diferenciáveis. Exemplos de grupos de Lie são subgrupos fechados do grupo das matrizes reais quadradas não-singulares. Exemplos de espaços simétricos são os espaços projetivos e os espaços hiperbólicos sobre K, sendo K os números reais, complexos, os quatérnions (números de Hamilton) ou os octônions (números de Cayley). O objetivo principal de presente projeto é estudar os elementos da teoria dos grupos de Lie e usar essa teoria para estudar os espaços projetivos e os espaços hiperbólicos. Assim como estudar a estrutura geométrica das álgebras dos quatérnions de dos octônions.
Plano 1: "O plano projetivo real"
Descrição: O plano projetivo real, é o modelo mais simples de geometria projetiva e o segundo, depois da esfera de um espaço simétrico compacto de posto um. A saber, nesse plano não vale o V Postulado de Euclides (na verdade não existem retas paralelas). Pretende-se estudar a geometria do plano projetivo do ponto de vista axiomático e comparar essa geometria com a euclidiana e a esférica, partindo do conhecimento básico da geometria euclidiana plana.
Plano 2: "Geometria dos Números de Cayley"
Descrição: A álgebra dos octônions (números de Cayley) foi descoberta em meados do século 19, de forma independente, pelos matemáticos Jhon T. Graves (amigo e conterrâneo de Hamilton) e Artur Cayley (inglês). A saber esse é um sistema numérico que estende a ideia de quatérnion, onde o produto deixa de ser associativo. Os quatérnions e os octônions são usados em geometria para entender a natureza de certos tipos de espaços simétricos. Os octônions auxiliam na descrição daqueles do tipo excepcional. O nosso objetivo principal é estudar a álgebra e geometria desses sistemas numéricos.
Plano 3: "Grupos de Lie"
Descrição: O grupo GL(2,R) das matrizes não-singulares 2X2 com entradas reais é um subconjunto aberto do espaço vetorial 4-dimensional R^4. Esse é o exemplo básico de um grupo com uma estrutura diferenciável (i.e., uma topologia e uma forma de fazer cálculo diferencial). Nosso objetivo principal é fazer uma introdução ao estudo da teoria dos grupos de Lie, mediante o estudo de algumas classes de grupos de matrizes.
Descrições e planos de trabalhos: Arquivo PDF
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