Last update: 27/03/2018
Para o novo Edital PIBIC, com vigência 2018-2019, os professores participantes ao grupo DGMP submeteram as propostas de projetos de Iniciação Científica (IC) listadas a seguir.
Os alunos interessados em participar de algum desses projetos devem entrar em contato com os professores proponentes.
Descrição: Neste projeto serão investigados problemas relacionados aos fundamentos da Mecânica Quântica, como o da transição quântico-clássica, usando métodos geométricos e da teoria da informação. Em particular, serão estudados os problemas da probabilidade e da base preferencial na Mecânica Quântica Everettiana.
Plano: "Grupos de Simetria e suas Aplicações"
Descrição: O estudante deverá estudar alguns dos principais grupos de simetria (grupos de rotações, unitários, etc.), suas propriedades algébricas e geométricas, e algumas de suas aplicações na Geometria, Física e outras áreas. Nesse contexto também serão introduzidos conceitos básicos de espaços métricos, topologia e geometria diferencial. Recomenda-se que o estudante já tenha feito ou esteja cursando as disciplinas de Cálculo Vetorial e Álgebra Linear.
Descrição:
As equações diferenciais, em derivadas ordinárias ou parciais, são ingredientes fundamentais dos modelos matemáticos usados nas ciências exatas. O ponto de vista elementar, segundo o qual uma equação diferencial é um sistema de relações funcionais entre as derivadas de um dado conjunto de funções, apresenta inúmeras limitações, entre as quais a impossibilidade de estudar de forma invariante as obstruções que podem levar uma equação a ser integrável ou não. Essas limitações são superadas estudando as equações diferenciais como sub-variedades de espaços de jatos, em termos daquelas propriedades invariantes sob a ação de transformações de contato, i.e., os auto-morfismos naturais de um espaço de jatos.
De forma geral este projeto pretende dar prossecução às nossas pesquisas no âmbito dos seguintes outros projetos principais:
"Métodos geométricos para o estudo e redução de equações diferenciais não lineares" (apoiado pelo CNPq com Bolsa de Produtividade)
"Geometria das equações diferenciais não lineares" (Projeto Universal, apoiado pelo CNPq)
Em particular, de forma compatível com o nível e os limites do PIBIC, serão visadas as seguintes vertentes: estudo de métodos de redução e integração por meio de simetrias; estudo e classificação das equações que admitem representações a curvatura nula, com particular atenção às equações que descrevem superfícies pseudo-esféricas.
Planos de trabalho:
Plano 1: "Métodos de integração e redução por meio de simetrias".
Descrição: Dentre os objetivos deste plano têm o estudo de métodos de redução e integração por meio de simetrias, seja no caso de equações ordinária que a derivadas parciais. Nesta parte do projeto o tema da redução será abordado de forma original com o objetivo de conseguir resultados novos.
Plano 2: "Geometria das equações diferenciais que descrevem superfícies pseudo-esféricas e teoria das representações a curvatura nula".
Descrição: Dentre os objetivos deste plano têm a introdução à geometria das equações que descrevem superfícies pseudo-esféricas (equações PS), e a noção de representação a curvatura nula. Em particular serão visadas algumas novas aplicações das propriedades geométricas das equações PS.
Descrição: Os modelos mais simples de geometrias não euclidianas são a esfera e o espaço hiperbólico n dimensionais. Os objetos que generalizam essas geometrias foram classificados por Cartan e são chamados espaços simétricos. Com os espaços simétricos podemos estudar geometria do ponto de vista do Erlangen program de Klein, i.e., do ponto de vista de grupos de transformações, mais especificamente dos Grupos de Lie. Um grupo de Lie é um grupo, equipado com uma estrutura diferenciável, tal que as suas operações são funções diferenciáveis. Exemplos de grupos de Lie são subgrupos fechados do grupo das matrizes reais quadradas não-singulares. Exemplos de espaços simétricos são os espaços projetivos e os espaços hiperbólicos sobre K, sendo K os números reais, complexos, os quatérnions (números de Hamilton) ou os octônions (números de Cayley). O objetivo principal de presente projeto é estudar os elementos da teoria dos grupos de Lie e usar essa teoria para estudar os espaços projetivos e os espaços hiperbólicos. Assim como estudar a estrutura geométrica das álgebras dos quatérnions de dos octônions.
Plano 1: "O plano projetivo real".
Descrição: Em ordem de complexidade, depois da esfera, o plano projetivo real é o segundo modelo de geometria não euclidiana num domínio compacto (com curvatura constante positiva). O nosso objetivo principal é estudar essa geometria do ponto de vista axiomático, partindo do conhecimento básico da geometria euclidiana plana.
Plano 2: "As álgebras dos quatérnions e dos octônions".
Descrição: A álgebra dos quatérnions foi descoberta a meados do século 19 pelo matemático irlandês William Rowan Hamilton. A saber, esse é um sistema numérico que estende a ideia de número complexo, onde o produto deixa de ser comutativo. A álgebra dos octônions foi descoberta na mesma época, de forma independente, pelos matemáticos Jhon T. Graves (amigo e conterrâneo de Hamilton) e Artur Cayley (inglês). A saber esse é um sistema numérico que estende a ideia de quatérnion, onde o produto deixa de ser associativo. Os quatérnions e os octônions são usados em geometria para entender a natureza de certos tipos de espaços simétricos (os octônions auxiliam na descrição daqueles do tipo excepcional). O nosso objetivo principal é estudar a álgebra e geometria desses sistemas numéricos.
Plano 3: "Grupos de Lie"
Descrição: O grupo GL(2,R) das matrizes não-singulares 2X2 com entradas reais é um subconjunto aberto do espaço vetorial 4-dimensional R^4. Esse é o exemplo básico de um grupo com uma estrutura diferenciável (i.e., uma topologia e uma forma de fazer cálculo diferencial). Nosso objetivo principal é fazer uma introdução ao estudo da teoria dos grupos de Lie, mediante o estudo de algumas classes de grupos de matrizes.
Descrição:
A principal proposta deste projeto é realizar um estudo sobre algumas curvas no 3-espaço, superfícies obtidas através destas curvas e a teoria de singularidades concernente.
Mais precisamente pretendemos:
Fazer um estudo detalhado de hélices generalizadas, hélices esféricas e hélices oblíquas, curvas de Bertrand, curvas de Mannheim e curvas de Salkowski, caracterizando-as em termos da curvatura e da torção.
Estudar hélices generalizadas e as curvas de Bertrand do ponto de vista da teoria de curvas em superfícies regradas, apresentando uma caracterização de superfícies cilíndricas através de superfícies regradas não singulares e uma caracterização de curvas de Bertrand como curvas de superfícies regradas, e estudar propriedades genéricas de hélices generalizadas e oblíquas, curvas de Bertrand e curvas de Mannheim como aplicações da teoria da singularidade para curvas planas e curvas esféricas.
Introduzir as noções básicas superfícies regulares no espaço euclidiano tridimensional, curvas em superfícies, curvas assintóticas, geodésicas, curvatura geodésica e torção geodésica, fazer um estudo detalhado superfícies regradas, de superfícies desenvolvíveis e superfícies desenvolvíveis retificáveis.
Introduzir a teoria de singularidades de aplicações diferenciáveis, analisando as classificações do caso de aplicações do plano em superfícies e caracterizar as singularidades de superfícies regradas e de superfícies desenvolvíveis.
Construir superfícies regradas e superfícies desenvolvíveis a partir de curvas espaciais especiais e relacionar as singularidades das superfícies com características das curvas.
Plano1: "Curvas espaciais especiais: hélices generalizadas, curvas de Bertrand, curvas de Mannheim e curvas de Salkowski"
Plano2: "Superfícies regradas, superfícies desenvolvíveis e singularidades"
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